Intransitive Würfel
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Miwin'sche Würfel
Die Miwin'schen Würfel wurden 1975 in Wien vom Physiker Michael Winkelmann erfunden. Sie bestehen aus einem Satz dreier unterschiedlicher Würfel. Die Summe der Augenzahlen jedes einzelnen beträgt 30, der Mittelwert 5. Gegenüberliegende Augenzahlen der Würfel ergeben in Summe jeweils neun, zehn oder elf. Sie überstreichen den Zahlenbereich von Eins bis Neun.
Die Bezeichnung des einzelnen Würfels erfolgt durch die Summe der beiden niedersten Augenzahlen, es ist also:
| Würfel III | mit den blauen Augen | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 | |||
| Würfel IV | mit den roten Augen | 1 | 3 | 4 | 5 | 8 | 9 | |||
| Würfel V | mit den schwarzen Augen | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 |
Es liegen jeweils die Zahlen 1 und 9, 2 und 7 sowie 3 und 8 gegenüber. Bei Würfel III sind die Antipoden außerdem 5 und 6, bei Würfel IV 4 und 5 und bei Würfel V 6 und 4.
Die drei Würfel sind derart gestaltet, dass es nach Wahl eines beliebigen Würfels immer einen anderen gibt, der gegen ihn gewinnt: mit einer Wahrscheinlichkeit von 17 : 36 würfelt er eine höhere Augenzahl und mit 16 : 36 eine kleinere Augenzahl. So gewinnt zyklisch III gegen IV, IV gegen V und V wiederum gegen III. Es sind somit intransitive Würfel.
Eigenschaften der Miwin’schen Würfel
- 1/3 der Augen-Summen aller drei Miwin’schen Würfel lässt sich durch 3 teilen ohne Rest.
- 1/3 der Augen-Summen aller drei Miwin’schen Würfel lässt sich durch 3 teilen mit Rest 1.
- 1/3 der Augen-Summen aller drei Miwin’schen Würfel lässt sich durch 3 teilen mit Rest 2.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl mit allen drei Würfeln zu erhalten beträgt 11/36, die für einen bestimmten Pasch 1/36, die für irgend einen beliebigen Pasch 1/4. Die Wahrscheinlichkeit mit nur zwei Miwin'schen Würfeln irgend einen Pasch zu würfeln ist nur halb so groß, wie mit normalen Würfeln, nämlich 1/12.
Summenhäufigkeiten der Miwin’schen Würfel
 Summenhäufigkeit der Würfel III und IV |
 Summenhäufigkeit der Würfel III und V |
 Summenhäufigkeit der Würfel IV und V |
 Summenhäufigkeit der Würfel III und IV und V |
Die Summenhäufigkeit der Würfel III und IV und V wird auch als Miwin-Verteilung bezeichnet,
Intransitäts-Umkehr
Streicht man bei den Miwin'schen Würfeln die gemeinsam vorhandenen Zahlen, so dreht sich die Intransität um!
Gleichverteilungen von Zufallszahlen durch die Miwin’schen Würfel
Mit den Miwin’schen Würfeln können mehrere Gleichverteilung erzeugt werden, durch Addition einer Konstanten kann der Bereich verschoben werden.
1 – 9 (einmal würfeln) P(1-9) = 1/9
Sie nehmen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln
0 – 80 (zweimal würfeln) P(0-80) = 1/9² = 1/81
Varianten
1. Variante
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 1. Wurf.
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 2. Wurf.
Sie multiplizieren den ersten Wurf mit 9 und ziehen den 2. Wurf ab:
- Beispiele
| 1.Wurf | 2.Wurf | Rechnung | Zahl |
|---|---|---|---|
| 9 | 9 | 9 mal 9 - 9 | 72 |
| 9 | 1 | 9 mal 9 - 1 | 80 |
| 1 | 9 | 9 mal 1 - 9 | 0 |
| 2 | 9 | 9 mal 2 - 9 | 9 |
| 2 | 8 | 9 mal 2 - 8 | 10 |
| 8 | 4 | 9 mal 8 - 4 | 68 |
| 1 | 3 | 9 mal 1 - 3 | 6 |
Das sind 81 Zahlen (0 - 80), jede mit der Wahrscheinlichkeit von (1/9)², 81 = 9²
2. Variante
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 1. Wurf
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm: 2. Wurf
Zeigt der erste Wurf eine Neun, so ist die Zahl gleich dem 10-fachen des zweiten Wurfes minus 10. Sonst ist die Zahl gleich dem 10-fachen des ersten Wurfes plus dem 1-fachen des zweiten Wurfes minus 10.
- Beispiele
| 1.Wurf | 2.Wurf | Rechnung | Zahl |
|---|---|---|---|
| 9 | 9 | 10 mal 9 - 10 | 80 |
| 9 | 1 | 10 mal 1 -10 | 0 |
| 8 | 4 | 10 mal 8 + 4 - 10 | 74 |
| 1 | 3 | 10 mal 1 + 3 - 10 | 3 |
Das sind 81 Zahlen (0 - 80), jede mit der Wahrscheinlichkeit von (1/9)², 81 = 9²
3. Variante
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1.Wurf!
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 2.Wurf!
Zeigt der erste Wurf eine Neun und der zweite Wurf eine Neun erhalten Sie die Null. Zeigt der erste Wurf eine Neun und der zweite Wurf keine Neun, so ist die Zahl gleich dem 10-fachen des zweiten Wurfes. Zeigt der erste Wurf eine Acht, so ist die Zahl gleich dem 1-fachen des zweiten Wurfes. Sonst ist die Zahl gleich dem 10-fachen des ersten Wurfes plus dem 1-fachen des zweiten Wurfes.
- Beispiele
| 1.Wurf | 2.Wurf | Rechnung | Zahl |
|---|---|---|---|
| 9 | 9 | - | 0 |
| 9 | 3 | 10 mal 3 | 30 |
| 8 | 4 | 1 mal 4 | 4 |
| 5 | 9 | 5 mal 10 + 9 | 59 |
Andere Verteilungen
0 – 90 (dreimal würfeln) P(0-90) = 8/9³ = 8/729
Sie müssen um eine Gleichverteilung der Zahlen von 0 bis 90 zu erhalten, dreimal würfeln:
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1. Wurf.
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 2. Wurf.
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin’schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 3. Wurf.
- Zeigt der erste Wurf eine Neun, und der dritte Wurf keine Neun, so ist die Zahl gleich dem 10-fachen des zweiten Wurfes (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90).
- Ist der erste Wurf nicht Neun, dann ist die Zahl gleich dem 10-fachen des ersten Wurfes plus dem 1-fachen des zweiten Wurfes.
- Ist der erste Wurf gleich dem dritten Wurf, dann ist die Zahl gleich dem 1-fachen des zweiten Wurfes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
- Sind alle drei Würfe gleich, so ist der Wert der Zahl Null.
- Sind alle drei Würfe gleich Neun, so wird der Vorgang wiederholt.
- Beispiele
| 1.Wurf | 2.Wurf | 3.Wurf | Rechnung | Zahl |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 9 | nicht 9 | 10 mal 9 | 90 |
| 9 | 1 | nicht 9 | 10 mal 1 | 10 |
| 8 | 4 | nicht 8 | 10 mal 8 + 4 | 84 |
| 1 | 3 | nicht 1 | 10 mal 1 + 3 | 13 |
| 7 | 8 | 7 | aus 78 wird 8 | 8 |
| 4 | 4 | 4 | drei gleiche | 0 |
| 9 | 9 | 9 | Wiederholung | - |
Das sind 91 Zahlen (0 - 90), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 8 / 9³, 8 * 91 = 728 = 9³ - 1
0 – 103 (dreimal würfeln) P(0-103) = 7/9³ = 7/729
Das sind 104 Zahlen (0 - 103), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 7 / 9³, 7 * 104 = 728 = 9³ - 1 Die Zuordnung ist kompliziert. Wer eine einfache Lösung dafür findet, bekommt ein Set Miwin'scher Würfel!
0 – 728 (dreimal würfeln) P(0-728) = 1/9³ = 1/729
Das sind 729 Zahlen (0 - 728), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 1 / 9³
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 1. Wurf.
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 2. Wurf.
- ) Sie wählen zufällig einen der drei Miwin'schen Würfel und würfeln mit ihm und legen ihn wieder zurück: 3. Wurf.
Sie erzeugen das Zahlensystem zur Basis 9 in der Form: (1.Wurf - 1) * 81 + (2.Wurf - 1) * 9 + (3.Wurf - 1) * 1 das ist maximal: 8 * 9² + 8 * 9 + 8 * 9° = 648 + 72 + 8 = 728 (1.Wurf - 1) deswegen, damit die Null zum tragen kommt, also die neun Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,8
- Beispiele
| 1.Wurf | 2.Wurf | 3.Wurf | Rechnung | Zahl |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 9 | 9 | 8 * 9² + 8 * 9 + 8 | 728 |
| 4 | 7 | 2 | 3 * 9² + 6 * 9 + 1 | 298 |
| 2 | 4 | 1 | 1 * 9² + 4 * 9 + 0 | 117 |
| 1 | 3 | 4 | 0 * 9² + 3 * 9 + 3 | 30 |
| 7 | 7 | 7 | 6 * 9² + 6 * 9 + 6 | 546 |
| 1 | 1 | 1 | 0 * 9² + 0 * 9 + 0 | 0 |
| 4 | 2 | 6 | 3 * 9² + 1 * 9 + 5 | 257 |
Das sind 729 Zahlen (0 - 728), jede mit der Wahrscheinlichkeit von 1 / 9³ = 1 / 729 728 = 9³ - 1
Zahlenkombinationen mit den Miwin’schen Würfeln III, IV, V
| Variante | Gleichung | Anzahl |
|---|---|---|
| Alle drei auf einmal ohne Unterscheidung | - | 135 |
| Alle drei auf einmal mit Unterscheidung | (135 – 6 * 9) * 2 + 54 | 216 |
| Alle drei nacheinander | 6 * 6 * 6 | 216 |
| Zufällig alle drei nacheinander | 6 * 6 * 6 * 6 | 1296 |
| Dreimal einen mit Zurücklegen ohne Farbbeachtung | 9 * 9 * 9 | 729 |
Dreimal einen mit Zurücklegen mit Farbbeachtung:
| Variante | Gleichung | Anzahl |
|---|---|---|
| III, III, III / IV, IV, IV / V, V, V | 3 * 6 * 6 * 6 | 648 |
| III, III, IV / III, III, V / III, IV, IV / III, V, V / IV, IV, V / IV, V, V | 6 * 3 * 216 | + 3888 |
| III, IV, V / III, V, IV / IV, III, V / IV, V, III / V, III, IV / V, IV, III | 6 * 216 | + 1296 |
| = 5832 |
5832 = 2 x 2 x 2 x 9 x 9 x 9 = 18³ Werte können dargestellt werden.
Aufgabe
Wenn Sie auf eine Ecke eines Würfels schauen, so sehen Sie drei Seiten des Würfels, nämlich die Oberseite und zwei Seitenflächen. Liegen drei Würfel so, dass von jedem Würfel eine Ecke zu Ihnen zeigt, so sehen Sie insgesamt neun Seiten, also auch neun Zahlenwerte.
- Auf wieviel verschiedene Arten ist es möglich, alle Zahlen von 1 bis 9 zu sehen?
- Auf wieviel verschiedene Arten ist es möglich, auch von der gegenüberliegenden Seite alle Zahlen von 1 bis 9 zu sehen?
Siehe auch
Einzelnachweise
- Michael Winkelmann: Göttliche Spiele. 1. Aufl., Arquus Verlag, Wien 1994, ISBN 3-901-388-10-9.
- Michael Engel: Die schönsten Spiele für eine Person. Orig.-Ausg., Humboldt, Baden-Baden 2003 (= Humboldt-Paperback, 4044: Freizeit & Hobby), ISBN 3-89994-044-X.
- „Das Weihnachtsorakel. Spieltip: Ein Buch mit zwei Seiten“, Bericht vom 18. Dezember 1994 in Der Standard, S. 6m.
- Die Pöppel-Revue, Heft 1/1990, S. 6; sowie: Spielwiese, 1990, Heft 11, S. 13, und 1994, Heft 29, S. 7.
- Offizielle Webpräsenz des Österreichischen Spielefestes, Stiftung Spielen in Österreich, Leopoldsdorf
- Spielbox, Juni 1989, Heft 3, S. 42.
- Spielwiese, 1989, Heft 29, S. 6
- Homepage des Spieleautors Michael Winkelmann (→ „miwin’sche Spiele“ anklicken)
- vgl. Homepage des Spieleautors Michael Winkelmann (→ „Miwin’sche Würfel 2“ anklicken, dann: →„Zu den Eigenschaften der Miwin’schen Würfel“ anklicken)
- Klausur zur Veranstaltung Entdeckendes Lernen, Sommersemester 2007, Universität Siegen (PDF-Datei)
- Spielcasino, Heft 26, Seite 31, Mai 1989
- spielraum, Heft 3, Seite 53, März/April 1989
- WIN-Spiele Magazin 174. Seite 14, 6. 11. 1994
- Bücher News. Nr 45, Seite 46, 1994
- Kurier. Seite 23, 7.5.1995
- Die Presse. Seite 22, 28.10.1997
- Der Standard. Seite A 39, 13.12.1999
Weblinks
- http://www.miwin.com - Über hundert Spiele
