Hallo Tantis,
meine Erfahrungen dazu - ohne Anspruch auf Korrektheit in irgendeiner Form. Ich denke, oftmals muss man sich einfach die Frage stellen, ob sich der Aufwand überhaupt lohnt und ob man sich nicht besser damit anfreundet, dass ein Spiel irgendwann auch einfach "gespielt" aussieht. Das ist aber vermutlich nicht das, was du hören möchtest. 
In den meisten Fällen würde ich persönlich die Pappkanten einfach so belassen, damit leben dass sie etwas schwieriger zum zusammenstecken sind und später kleine Beschädigung einfach ausbessern, wenn sie denn mal da sind. Ob und was dann sinnvoll ist, hängt von der Beschaffenheit der Pappe, bzw. des Papiers, der Form der Spielbretter/Pappteile und ggf. der Größe der vielleicht schon vorhandenen Beschädigung ab.
Ich nutze fast immer weißen Bastelleim der transparent trocknet, um kleine Beschädigungen an Spielbrettern auszubessern. Das lässt sich auch noch sehr gut korrigieren oder gar wegwischen, wenn mal was schief läuft. Man muss nur schauen, dass man die reparierte Stelle eine Weile zusammendrückt bis ein erster halt da ist. Zur Vorbeugung kannst du die Oberflächen der Spielbrettkanten/Pappteile auch mit einer dünnen Schicht Bastelleim benetzen. Ich würde mir davon im Sinne einer Vorbeugung aber nicht all zu viel versprechen - zudem ist es zusätzliches Material, was ein zusammenstecken von engen Pappteilen dann auch nicht einfacher macht.
Für bestimmte Stellen kann auch ein Klebestift sinnvoll sein, nämlich dann wenn du Stellen ausbessern möchtest, an denen nur noch dünnes Papier vorhanden ist. Wenn du da mit flüssigem Kleber arbeitest, raut es dir das Material auf und das sieht dann gar nicht mehr schön aus. Das kannst du mit einem Klebestift relativ gut verhindern, da dieser nicht so flüssig ist - auch wenn der nicht die Klebekraft von bspw. Bastelleim mitbringt.
Von Sekundenkleber würde ich bei solchen Geschichten grundsätzlich die Finger lassen. Die Klebekraft ist auf Pappe, aus meiner Sicht, nicht besser wie von Bastelleim. Sekundenkleber wird auch gerne mal spröde. Das, gepaart mit der Tatsache das du Sekundenkleber später kaum noch runter bekommst, kann eine Reparatur ggf. irgendwann deutlich erschweren. Wie du selber auch schon geschrieben hast, ist es stressig in der Handhabung - wenn der Sekundenkleber einmal auf dem Aufdruck des Spielbrettes drauf ist, bekommst du das kaum noch runter und hast immer einen Flecken drauf.
Ob ein abschleifen der Kanten für eine langfristige Behebung des Problems der ideale Weg ist - da habe ich meine Zweifel. Eventuell mit einem sehr feinen Schleifpapier und einem bedachtem Vorgehen, wenn nicht viel Material abgetragen werden muss. Die Kanten werden in der Druckerei immer gestanzt oder geschnitten - wenn du also nicht möchtest, dass dir die Kanten langfristig noch mehr ausfransen, solltest du es im Idealfall also auch irgendwie hinbekommen die Kanten zu stanzen oder sauber zu schneiden. Eckenstanzer für Laminierfolien/Papier (oder gar Nagelklipser) sind eventuell eine Möglichkeit die Kanten zu bearbeiten, wenn eben die die zu bearbeitende Form der Pappe das zulässt. Unter Umständen kannst du dir auch mit einem Skalpell und einem Lineal aus Metall behelfen. Damit kannst du ggf. die Kanten mit einem sauberen Schnitt nacharbeiten - aber auch da ist es wieder sehr vom Material und der Form der Pappe abhängig, ob das Zielführend ist, bzw. ob man sich das zutraut.
Wie gesagt, meine Erfahrungen... Vielleicht helfen Sie dir, das Thema etwas besser einzuschätzen. Kann aber auch sein, dass andere Spieler noch viel bessere Ideen und Erfahrungen haben.
